1.中英文簡介(Introduction)

在GPS出現之前，廣義相對論只是少數理論物理學家所瞭解的理論，出現GPS之後，我們的生活開始需要依靠廣義相對論的運算，ex.海上的航行、飛機飛行、沙漠旅行。

雖然我們對相對論仍然沒有非常瞭解，但對我們的生活來說已是不可或缺的。隨著科技的演進，在迷路時，我們不再需要依靠地圖與指南針的幫助，可以利用GPS即可找出我們所在的位置，但大家是否知道GPS與相對論是息息相關的呢?

歡迎跟隨我們的腳步，一起探究其中的奧妙吧!

Before the appearance of the GPS , relative theory was only known by few theoretical physicists .But after the GPS emerges , the compute of relative theory become necessary in our daily lives . For example , sailing of a boat , navigation of planes , travel through the desert , etc .

Although there are lots of concepts in relative theory we didn』t understand , but it has become a part of our life.With the progress of technology , we don』t need the map or magnetic needle when we were lost , we can locate our location by using GPS . But is everyone know the relationship between GPS and relative theory ?

Let』s find out its secret now !

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2.實驗原理(Physics principle)   

        2-1.相對論

        2-2.定位原理

        2-3.時間修正

        2-4.從汽車導航的需求推算時間精確度

        2-5.廣義相對論中重力的真相

2-1.相對論：

2-1-a:狹義相對論

愛因斯坦於1905年發表

狹義相對論建立在"相對性原理"與"光速不變原理"兩個基本公設下

2-1-a1:狹義相對論-基本公設

相對性原理：

如果兩個座標系相對而言以固定的速度在運動，則任何物理系統狀態變化的定律從哪一個座標系來觀察這些變化無關。如果相對性原理成立，則每個慣性座標系中用來描述自然現象的物理定律就都相同，因此我們便無法用物理定律來區別不同的座標系。              

例如，我們位於等速前進的火車(飛機、船)之中，而且往窗外看，那麼我們在車廂內所觀察到的任何現象，以及從中所歸納出來任何物理定律，都不能告訴我們的飛機相對於地面的速度是多少。這個原理的確和我們平常搭火車(飛機、船)的經驗相符，只要火車沒有任何加速度，除非我們往窗外看，否則就無法確定火車究竟是靜止不動或正以等速前進。

光速不變原理：

在任何座標系下，光速恆為定值

無論在何慣性參照系中觀察，光在真空中的傳播速度相對於該觀測者都是一個常數，不隨光源和觀測者所在參考系的相對運動而改變。這個數值是299,792,458 米/秒，大約是每秒30萬公尺。因此，一個靜止的人所觀察到的光速，與在太空船高速運動的人觀察到的光速，是相同的。

基於此兩大公設，可推導出"時間延遲"與"長度收縮"的效應

2-1-a2:狹義相對論-時間延遲

如圖1所示，火箭上有一名觀察者，地面有一名觀察者，藍色的裝置會有光在內部反射，光來回一次的時間為Δt，當一火箭以V前進時，火箭內的觀察者所觀測到的路徑為圖2，地面上的觀察者所觀測的路徑為圖3，設火箭內的觀察者所觀察的時間為Δt時，地面上的觀察者所觀察到的時間為Δt』

假設火箭在Δt』秒所走得路徑長為2X，光 速以C作為代表且在Δt』秒內所走的軌跡為2D，我們可以由上圖得知

由以上證明可看出，當火箭速度接近光速時，火箭內部的人所過得時間會較地面上的人所過得時間來的慢，在孿生子弔詭的實驗中，就是這個原因所導致。

2-1-a3:狹義相對論-孿生子弔詭

在孿生子弔詭的實驗中，哥哥搭上太空船進行快樂的宇宙之行，而弟弟留在地球上等候哥哥歸來。

不知過了多久哥哥回來了，但也發現弟弟比哥哥不知衰老了多少。

2-1-a4:計算衛星速度與狹義修正項

1.利用衛星接收器取許多數據，包含衛星的方向角、仰角與經度和緯度

2.透過座標轉換，我們將衛星對人的位置轉換為衛星對地心的位置

3.設θ1為90-緯度，ψ1為經度，θ2為90-仰角，ψ2為方向角(其中衛星距離地球表面20000km,地球半徑為6400km)

4.透過座標轉換後衛星位置為：

            X=-20000tanθ₂cosψ₂cosθ₁cosψ₁-20000sinθ₁cosψ₁ +20000tanθ₂sinψ₂sinψ₁+6400sinθ₁cosψ₁

            Y=-20000tanθ₂cosψ₂sinθ₁sinψ₁-20000sinθ₁sinψ₁- 20000tanθ₂sinψ₂cosψ₁+6400sinθ₁sinψ₁

            Z=-20000tanθ₂cosψ₂sinθ₁+20000cosθ₁+6400cosθ₁

5.將衛星的方向角、仰角與經度和緯度代入，可以得到衛星的位置

6.將衛星的位移除上時間，我們 即可求得衛星速度

7.求得衛星速度時，透過公式，可以計算狹義修正項

因此，GPS衛星速度約3874 m/s，根據狹義相對論，衛星上的「時間」每天會比地面上的時間要慢7.2微秒。

2-1-b:廣義相對論

愛因斯坦於1915年陸續提出，廣義相對論基於以下基本公設

2-1-b1:狹義相對論-基本公設

等效原理：

觀測者不能在局部的區域內分辨出由加速度所產生的慣性力或由物體所產生的引力。當一個物體受力時，其慣性質量將會決定加速度，而且總是和對其他物體施力的重力質量相等。

在上圖中，小球落到正在加速（加速度等於地球重力場的重力加速度）的火箭的地板上（左）和落到地球上（右），在這兩種情況下觀察者所觀測到小球的運動軌跡是相同的。

　

愛因斯坦場方程式：

它具體表達了時空中的物質對於時空幾何的影響，重力是由物體周圍的時空扭曲所產生的。由於物質的存在，重力為時空的扭曲分佈，附近的物體會因為這個扭曲而被吸引 。

       

在上圖中，一個具有巨大質量的恆星造成 原本平坦均勻的時空扭曲，接近它的星球會因為這個扭曲而被此恆星所吸引，這也是"重力"真實的面貌。

2-1-c:相對論的應用

相對論應用在高速運動下的粒子，以下會解釋人造衛星在太空中高速行進，該如何修正時間延遲造成的效應；而相對論也間接的造成量子力學的衍生，粒子加速器、GPS的原子鐘、重力透鏡，皆是相對論重要的產物。

2-2.定位原理：

全球定位系統（英語：Global Positioning System，通常簡稱GPS），為美國國防部開發，利用規模遍及全球的人造衛星之航法系統，由24顆人造衛星所構成，其中包括三顆預備衛星。

2-2-a:衛星訊號

GPS屬於中距離圓形軌道衛星導航系統，使用者只需要接受器即可使用，無須付費。一般使用的衛星信號有兩種，分別為民用的標準定位服務(SPS)和軍規的精確定位服務(PSS)，我們一般民間使用的即屬SPS的信號。

GPS衛星信號它包含有三種訊號份量：「載波」、「測距碼」和「導航訊息」。每一個GPS衛星都可發射兩個L波段的電磁波來傳送各種訊息，L 波段的電磁波為「載波」，通常分別以「Ll」及「L2」表示。

每顆GPS衛星上面都設置有原子鐘，所產生的基本頻率是9.19GHz，利用頻率綜合器產生所需要的頻率。以基本頻率的不同倍數值所組成的「虛擬隨機噪聲碼」有兩種，一種是「C/A 碼」，另一種是「P碼」。並將之調製在Ll及L2載波上，其中Ll 載波上調製C/A碼和P碼，L2載波上只調製P碼；此外，載波上還載有「導航訊息」。

*C/A碼:C/A碼亦稱為S碼，是測量衛星到接收器之間距離的工具，除了作為粗測碼外，還作為GPS 衛星信號的捕獲碼。

*P碼:P碼是衛星的精測碼，其處理增益相當大，可絕對保証信號接收的可靠性和精度，專為軍方所用的。

所謂導航訊息，就是包含了有關衛星的星曆、衛星工作狀態、時間系統、衛星時鐘運行狀態、軌道攝動改正、大氣折射改正以及C/A 碼轉換到獲得P 碼等訊息。這些數據是以二進制碼的形式傳播給用戶，故導航訊息又稱為數據碼或稱為D 碼。

2-2-b:衛星軌道

GPS衛星星座由24顆衛星組成，其中21顆為工作衛星，3顆為備用衛星。24顆衛星均勻分佈在6個軌道平面上，即每個軌道面上有4顆衛星。衛星軌道面相對於地球赤道面的軌道傾角為55°，各軌道平面的升交點的赤經相差60°，一個軌道平面上的衛星比西邊相鄰軌道平面上的相應衛星升交角距超前30°。這種佈局的目的是保證在全球任何地點、任何時刻至少可以觀測到4顆衛星。

2-2-c:三角定位

GPS定位是利用三角定位原理，接收器利用信號的傳輸時間來量測距離，藉此判定衛星在太空中的位置。

1849年Maxwell意識到光波是一種電磁波，所以利用GPS衛星跟地面上使用者之間訊號傳遞的時間差即可以算出兩者之間的距離(距離=光速X時間)。

(1)假設第一顆衛星j位於定位者17000 km高空:以17000 km為半徑，衛星為圓心畫一圓，我們則會處於此球面上。

(2)假設第二顆衛星k距離我們17600 km，因此我們位於此兩球面的交集圓周上。

(3)我們再以第三顆衛星i做精密定位，設高度為18000 km，圓周再與新球面交集成兩點，其中一點為非我們所在的位置(可能是太空中的某一點)，而我們則在另一點上。

(4)若要更精確的定位，則需再利用第四個顆衛星。

訊號傳輸的時間乘以光速即是我們與衛星的距離，我們將此測得的距離稱為虛擬距離，在GPS的測量上，我們測的是無線信號，傳輸時間只需0.06秒以下，時間的測量需要二個不同的時鐘，一為衛星上時間以記錄無線電信號傳送的時間，另一個時鐘則裝置在接收器上，用以記錄無線電信號接收的時間，利用這時間差╳速度，就是接收器到衛星的距離，即為GPS的基本定位原理。又因為衛星以高速運行，所以需要用相對來修正其時間延遲才可測得更精確的距離。

2-3.時間修正:

2-3-a:狹義相對論的時間修正

由愛因斯坦的狹義相對論得知，對於兩個具相對速度的座標系，如果v越大則時間膨脹影響就越大，不嚴謹的說法即如果達到光速則時間就會暫停，這就是GPS跟相對論之間的第一個關係(其中速度就是衛星的速度)。

根據狹義相對論，速度越快，時間越慢。

GPS衛星每天繞行地球約兩圈，其速度大約是每秒鐘3874 公尺，也就是大約每小時1.4萬公里。

註:衛星速度的計算

那麼根據狹義相對論，衛星上的「時間」每天必比地面上的時間要慢7.2 微秒。

2-3-b:廣義相對論的時間修正

愛因斯坦提出了」宇宙並非時間均一」的說法，簡單來說就是你在A地的時間與B地的時間流逝速度是不相同的(還有CDEFG很多很多地)。其中最大的影響就是」引力」，引力弱的地方時間會快一點，所以在地球表面與兩萬公里高空的衛星時間也需要用到廣義相對論來修正(衛星受到的引力比較弱)。由於引力場弱的原因，GPS衛星上的時間每天必比地面上的時間要快45.9 微秒。

所以由以上兩項總和得出GPS衛星上的時間每天要比地面快38微秒左右，雖然38微秒看起來數值很小，但若是將它和光速相乘(距離=速度╳時間=0.000038秒╳300000 公里/秒)，所造成的誤差會達到一萬公尺左右，因此若我們沒有經過地面主控站的數據處理，相對論的效應所造成的GPS定位誤差會很大。

2-4.從汽車導航的需求推算時間精確度:

GPS時常被用來作為汽車的導航系統,必須指引駕駛在哪些路口需要轉彎,因此經常被要求精確度需達30公尺。由於GPS訊號波為電磁波,因此其訊息傳遞的速度等於光速300000 km/s,又因為距離=速度╳時間,因此定位精確度若要達30 m,訊號傳遞時間讀數每1秒的精準度必須在

       30(m)/300000000(m/s)=秒=0.1微秒 之內,

因此GPS衛星每天(86400 秒)必須有0.1╳86400=8640 微秒的精準度。

GPS衛星上的 原子鐘以每小時14000公里的速度運動，比在地球上接收機的時鐘快很多。
而軌道衛星在地球上方兩萬公里處，所感受的重力又只有地面的四分之一，由於時間膨脹及重力紅位移的關係，在全球定位系統衛星上的時鐘比在地面上的時鐘每天快38微秒。

若GPS的地面主控站可以修正相對論造成的誤差，衛星上原子鐘每天快38 微秒，我們必能達到所要求的每天差8640 微秒的精準度，也就是汽車導航系統所要求的30 m的精確度。

2-5.廣義相對論中重力的真相:

依據2-1-b廣義相對論的基本假設下，我們知道只要有質量存在，週遭的時空就會彎曲。
因此，由於時空的彎曲，就會將四周的質量牽引過來，這就與重力的效果相同。愛因斯坦將這種現象，統整在「愛因斯坦的重力方程式」此一數學式中。
愛因斯坦的重力方程式，顯示出過去僅被當作觀測物體運動用的架構的時間與空間(時空)，其實是與物體本身具有深刻的連結關係。

以下介紹幾項廣義相對論所推導出來的現象: 重力透鏡效應
水星的近日點移動
 

2-5-a重力透鏡效應

重力透鏡效應，就是當光通過太陽四周時，光線行進路線遭到扭曲的現象。

在太陽週遭，空間會因為太陽的巨大質量而彎曲。由於光線會沿著這個彎曲的空間前進，因此從遙遠的星球傳來的光線就會彎曲，使得星球的方向看起來會稍微的偏移。這現象在日全蝕的時候被確實觀測到，是廣義相對論第一次得到驗證的有名實驗。