2.實驗原理
(Physics
principle)
2-1
念力許願擺的原理
此實驗藉由人本身不自覺的輕微運動,如肌肉的微顫或呼吸等等.藉由共
振,造成擺的運動,不管多小的能量只要頻率相同且持續加入，則能量會
被累積而形成更大的振幅.但直觀無法察覺之間的關聯,造成旁觀者或當
事人的錯覺，以為是念力而有誤解。
振幅的疊加圖解：
A.與本主題有關的藝術
921大地震時，臺灣有許多大樓倒塌導致死傷慘重，又其中以十幾層樓高的大樓倒塌最多，後來科學家分析921震動的頻率，發現這個頻率剛好與十幾層樓高的震盪頻率相近，而產生共振現象，使能量能傳遞到十幾層樓高而使之破壞。
B.與本主題有關的工程（產品）
我們在一個木桿上懸吊三條不同長度的擺錘，之後我們可以依照參觀者的指示讓任何一條的擺錘晃動。
C.與本主題有關的技術
本主題需要三條不同擺長的擺錘，且長度相距不同太相近，大約15cm、30cm與60cm的擺長。在演示的時候，我們利用較不易察覺的呼吸頻率來控制我們要讓哪個擺錘晃動，即擺錘擺過去時我吐氣，擺回來時我吸氣，則可以使我呼吸的頻率與擺的頻率相同，且在演示的過程中，最好不要讓手部的晃動太過明顯，否則會讓參觀者認為是我們手部去控制的。
D.與本主題有關的科學
當單擺在小角度時(擺角小於5度)，其振盪的運動可以視為簡諧運動。簡諧運動是一種規律的運動狀態，指物體運動所受到的力的大小會與位移成正比，且這個力會永遠指向平衡的位置(擺錘最低點)，且在沒有能量損耗時，此運動會一直以一個固定頻率來回振盪而不會停止。
E.與本主題有關的數學
當單擺得擺角小於5度時，單擺的運動可以視為簡諧運動，所以我們要先找出簡諧運動的最基本物理形式「虎克定律」，即
。
首先，我們分解單擺下方的擺錘所受到的外力，擺錘主要受到兩個力，一個是重力，一個是拉動擺錘的繩張力。其中我們將重力分力成兩部分，一部分是平行張力的力為mgcosθ，此重力的分力會與張力抵消而使擺錘不會脫離單擺，另一部分是垂直張力的力為mgsinθ，此力就是主要造成單擺來回震盪的力。當小角度時，圓的弧長X(即上圖的OP)可視為平行水平面(X軸方向)的長度d，即單擺的運動可視為只在X軸方向來回震盪，又因為是擺角是小角度，所以sinθ=d/L=X/L，即重力的其中一個分力mgsinθ可改寫成mgX/L，且力的方向與位移方向相反，即為虎克定律的形式。
進而可得到這種虎克常數k為mg/L，在代入簡諧運動的振盪週期公式為：
又頻率是週期的倒數，所以頻率為：
由公式可以觀察到單擺的振盪頻率與質量無關，但與擺長有關，所以念力擺就是利用不同擺長的單擺，使每個單擺都有不同的頻率，而我們選擇一個特定的頻率與單擺的振盪頻率產生共振，即可將能量傳遞給特定單擺，而使特定單擺的晃動情形更加明顯，而有控制的效果。
2-2 耦合擺的原理
1.耦合(雙球)
綁在同一棍子上的兩個單擺，如果先讓一個擺動另一個靜止，我們會
發現原先在擺動的球它的擺動角度會逐漸變小，而原先靜止的球擺動
角度逐漸變直到某一的瞬間，原先擺動的球會停止，而原先靜止的球
的擺盪會到最大；接著又開始重複上面的步驟，這種輪流擺動的現象
就叫做耦合。耦合現象，必須有相同的擺動頻率，就是相同擺長，產
生共振而發生耦合現象。
耦合圖解：
2.穩定模態(Normal
mode)
兩顆球的系統有兩種情形，第一種是A、B球同向且相同擺角振盪；
第二種是A、B球反向且相同擺角振盪。這兩個擺會穩定地進行能量交
換，產生耦合的現象，不斷持續運動而不會產生與原本運動型態不符
的運動方式，此時會說這種擺動模式為「Normal Mode」，可簡單想成
穩定態，中文翻譯成「模態」。
模態就好像是在作向量分析時的基本向量（i，j，k）一樣，各種複雜
的振動模式皆可以用數個Normal mode作線性疊加而知道其運動的模式
。以兩個鉛錘作耦合為例，讓AB兩個鉛錘分別擺動或是停止，皆是線
性加所作出來的結果，如初始條件為A動B止，或是A止B動，其運動型
態恰好是兩個Normal mode作1：1的疊加而成的結果。在耦合擺系統中n
個擺錘有n種穩定模態。日常生活中，氣體分子的振盪即是一種耦合擺。
A.與本主題有關的藝術
在沒有強烈的吹動的大橋，也有可以因為週遭規律的振動，使頻率與大橋振動的頻率相符而產生共振，原本只是微乎其微的小振動也能變成造成橋面毀損的大振盪。
B.與本主題有關的工程（產品）
光電耦合器
耦合現象最主要的概念是能量的傳遞，除了一般的單擺振盪可以能量傳遞外，電子訊號也可以藉由耦合來傳遞訊號，光電耦合器基本上就是一個發光二極體與光偵測器所組成，輸入一個訊號給發光二極體產生光，而光偵測器在接收光產生電流而達到能量的傳遞，但這兩元件之間不能與任何氣體或實體接觸，否則會造成能量的損耗。
C.與本主題有關的技術
耦合擺的先前條件就是要讓兩個單擺的頻率相同，進而產生共振，共振的兩個物體可以讓能量傳遞，又單擺的振盪頻率主要與擺長有關，所以在設計耦合的實驗時，要選擇相同擺長的單擺，但單擺的擺錘不一定要一樣也可以有相同的效果。
D.與本主題有關的科學
兩個單擺所組成的耦合擺會有兩種穩定的運動狀態，一種是兩個單擺以同方向同擺角振盪，一種是是兩個單擺以不同方向但同擺角振盪，這兩種穩定的運動狀態我們稱之為「穩定模態(Normal mode)」，而每種穩定模態就好像是在作向量分析時的基本向量（i，j，k）一樣，我們可以利用不同的穩定模態作線性疊加來分析這個系統的任何運動狀態。
另外，在耦合擺系統中n個擺錘有n種穩定模態。日常生活中，氣體分子的振盪即是一種耦合擺。
E.與本主題有關的數學
在耦合擺的運動模式中，我們就是利用兩個不同穩定模態去分析的，兩個單擺會兩個運動模態，我們將兩個單擺振動方向同向的話，令為(1,1)，而振動方向反向的話令為(1,-1)。如果當第一個單擺在振動時，第二個單擺是靜止的，即運動模式可以用(1,1)+(1,-1)=(2,0)來表示，代表第二個單擺的能量全傳遞給了第一個單擺。反之，如果是第一個單擺靜止，而第二個單擺在振動時，可以用(1,1)-(1,-1)=(0,2)來表示，即第一個單擺的能量全傳遞給了第二個單擺。這種穩定模態的線性疊加可以有很多種，即可充分的形容種個系統在任何形況下的運動狀態。
2-3 傅科擺的原理
傅科擺是一種簡單單擺，將一很重的物體綁在一條細長的線上，讓它
開始擺動，過一段時間會發現單擺擺動的方向變了，這是因為單擺是離
開地面在擺動的，並不受地面的影響，脫離地球的坐標系，又擺動可以
看作一種往複的直線運動，在地球上的擺動會受到地球自轉影響。
只要擺面方向與地球自轉的角速度方向存在一定的夾角，擺面就會受到
科氏力的影響，而產生一個與地球自轉方向相反的扭矩，從而使得擺面
發生轉動。1851年法國物理學家傅科以實驗證明了這種現象，他用一根
長67公尺的鋼絲繩和一枚27公斤的金屬球組成一個單擺，在擺垂下鑲嵌
了個指針，將單擺懸掛在教堂頂，實驗證實了在北半球擺面會緩緩向右
旋轉。由於傅科首先提出並完成了這一實驗，因而實驗被命名為傅科擺
實驗。
A.與本主題有關的藝術
世界各地有為數不少的傅科擺，許多都在大學、科學中心和天文館，最特別、著名和突出的一個位於曼哈頓的聯合國。
B.與本主題有關的工程（產品）
與藝術相同。
C.與本主題有關的技術
傅科擺是一種簡單的單擺，將重物綁在一細長線上，當它開始自由擺動一段時間之後，會發現單擺的擺動方向改變了，這是因為單擺脫離地球坐標系，所以不受地球自轉影響，只要擺面的方向與地球自轉的角速度存在一定的夾角，擺面就會受到科氏力影響而產生一個與地球自轉方向相反的扭矩。
1851年法國科學家傅科以實驗證明，當他用一根長67公尺的鋼絲繩綁一枚27公斤的金屬球組成的單擺，擺錘下鑲嵌了個指針，將單擺懸掛在教堂頂，實驗證實在北半球會緩緩向右旋轉，由於傅科是首先提出並完成實驗，因而實驗被命名為傅科擺實驗。
D.與本主題有關的科學
傅科擺是以一獨立地球表面擺動的擺，由於脫離地球坐標系，所以擺動時不受地球自轉影響。這麼一來會造成因觀察者所在位置不同，而看到不一樣的結果。在離開地球的太空人眼中，傅科擺會一直以同一方向擺動；而在地球上的人類則會覺得，轉動的不是自己，是傅科擺。
位於轉動的系統上，會產生一個假想力，稱為科氏力，因為地球上的人不知道自己在轉動，而以為轉動的是擺，此時會誤認為擺受力作用，此力就是科氏力。
以一個簡單的例子來做說明，兩列火車目前並行，但是A車車速較B車快，當我們從A車第三節車廂拋一球至B車，會落至B車第二節車廂甚至第一節車廂；相反的，若我們從B車第三節車廂拋一球至A車，可能的落點則會是A車的第四節甚至第五節車廂。
以下影片中有詳細介紹。
E.與本主題有關的數學
科氏力公式推導
如果有個物體由北極點以直線運動，運動速率為v，而地球的自轉角速度為ω，而這物體移動時間為t，以下式子代表該物體的運動情形：
1.物體直線移動的距離：vt
2.物體在由北極上空觀察到的移動角度：ωt
綜合以上兩式子，得到該物體移動的弧長S：
=> 弧長＝移動角度 × 直線移動距離
=> S ＝ωt × vt ＝vωt^2
依照受力的直線運動公式，得出S ＝ (1/2) × a t^2，因此，兩式相等，並表示如下：
=> vωt^2＝ (1/2) × a t^2
=> a＝2vω
物體在北極上空所觀察的受力 可表示為： f＝ma＝2mvω
因為科式力是相對地球自轉的運動而假想出來的力，當另一物體由北極點以v的等速拋出時，由北極上空觀察該物體受到相反方向但相同大小的科氏力：
科式力＝－ma＝－2mvω
不同緯度，科式力的影響不同。在地球的兩極最強，赤道最弱，所以我們可以由簡單的幾何關係推導出，適用於不同緯度的科式力推倒公式，如下：
F(θ)科式力＝f × cosθ，
緯度φ＝90°－θ
所以，科式力公式：F(φ)科式力＝f × sinφ＝－2mvωsinφ
2-4 阻尼器的原理
就阻尼的單字解釋而言,是由於一個物體在震動時,可能受並非是一個理想
的環境下,而是有風、空氣諸如此類的外界影響,使震動物的振幅逐漸的下
降。所以在工程上如果設計的得當的話,我們可以經由設計阻尼器來減緩
震動、搖晃的趨勢。以最有名的台北101大樓上,即有一個這種裝置,使在高
的人也不會受到外接風的吹到而使大樓搖晃感到不適,或者地震的安全問
題也無虞其功能在於吸收球體質量塊擺動時之衝擊能量，減少質量塊的擺動。
A. 與本主題有關的藝術
此影片為101大樓阻尼器遇到地震的情況
B. 與本主題有關的工程（產品）
101大樓的阻尼器
機車氣壓避震影片
氣壓式避震器是利用改變氣壓去調整彈簧的K值，去找到最適合乘載重量的K值。
傳統避震器(48秒~2分30秒)
基本上傳統避震器彈簧的K值是固定的，不像氣壓式避震器可以藉由氣壓調整彈簧的K值，而我們調整只是調整其彈簧長短改變其乘載強度而已。
C. 與本主題有關的技術
101大樓的阻尼器是用粗鋼纜將一顆重達660公噸的鐵球懸掛起來，並在其下方用多個油壓避震器，使其緩衝達到減少晃動的效果。
D.與本主題有關的科學
阻尼器主要是利用物體本身慣性(質量越大慣性越大)，來跟搖晃的大樓產生180度的相位差(即運動方向相反)。也就是說地震發生時大樓先搖晃，但此時鐵球則因慣性還保持不動，因此造成那180度的相位差來幫助穩定大樓減少晃動。而台北101的阻尼器主要不是要防地震，而是要防風!!由於高處的風非常強會使大樓搖晃，因此高樓大廈的阻尼器通常安裝在高樓層。
E.與本主題有關的數學
實際的震盪系統中常有耗損的現象，我們令恢復力為-kx，阻力R=-bv
令其通解為
再將一般解帶入方程式可得特徵方程
其解為:
故微分方程的解為
(一)過阻尼情況(overdamped oscillator)
此時特徵方程的解為兩個不相等的負實數，系統的振幅可寫為
如下圖藍色曲線部分
(二)臨界阻尼情況(critical damped oscillator)
此時特徵方程的兩個解相等
，其振幅可寫為
如下圖綠色曲線部分
(三)欠阻尼情況(underdamped oscillator)
此特徵方程的兩個解為共軛複數，其振幅可寫為
其中
，X要為實數 因此C1和C2必為共軛複數
故其解為
Ao和θ由起始條件決定
如下圖紅色曲線部分
|
