應用ANSYS有限元素軟體於最佳化設計題
生:曾中慶
指導教授:王柏村 博士
國立屏東技術學院機械工程技術系專題
摘要
      本文的目的旨在介紹如何應用ANSYS 5.0有限元素分析軟體做最佳化設計,首先介紹最佳化問題之架構,分別說明目標函數、設計變數及限制條件等,並介紹ANSYS 5.0有限元素分析軟體最佳化設計流程,文中共例舉結構最佳化問題及形狀最佳化問題,分析結果與理論解比較,驗證ANSYS 5.0有限元素分析軟體的正確性,並做深入討論,比較最初設計與最佳化設計的變化,本文提供了設計者一套有系統的思考模式,以做為將來改善產品最佳化設計時之參考。

一、前言
     近年來能源的危機及產品的競爭越來越劇烈,如何減少能源損失、降低生產成本及提昇產品品質,以滿足消費者的需求,已成為一個非常重要的課題。最佳化設計除了可以減少製造成本及減少能源損失外,更可以改善產品外形、提昇產品品質,因此,最佳化設計的概念逐漸受到工業界重視,以下針對最佳化設計的重要性做一歸納:

1、減少零件製造時所需材料,因此降低了製造成本及運輸成本。
2、由於材料的減少,使得產品整體重量大幅降低;相對地,產品重量降低,能量損失亦減少、系統效率增加,因此也達到環境保護的功能。
3、降低應力、增加結構強度。
4、形狀最佳化設計的最終結果除了可減少材料的使用,同時可以改善產品外型,平滑且具流線形的產品更受消費者喜愛。
5、最佳化設計的過程可由電腦軟體自動執行分析及控制設計參數,不須再仰賴大量的人工做產品應力及結構分析的工作,減少產品設計過程中,不斷地迭代所耗費的時間,縮短產品開發時間。
 
    最佳化設計的主要目的係求出設計變數的一個或數個值,使得目標函數為最大值或最小值,這些解必須滿足限制條件或設計參數。換言之,最佳化設計是在限制條件的範圍內,尋求目標函數的最大值或最小值,而限制條件視問題實際需求而定。

     1638年Galieo[1]曾經做過懸臂樑外形最佳化設計,目的係使得樑的每一截面積的應力皆均勻分佈,此後的學者亦做過許多機械元件的設計,不僅減少材料的使用,降低生產成本,更大大提昇了系統的效率,然而這一類的設計工作有許多非線性的問題及限制條件,因此在發展初期最佳設計的工作依仍舊仰賴設計者的直覺和經驗來完成。
 
    由於近二十年電腦軟體工程及有限元素分析軟體的發展已相當成熟,因此又再度引起工程師及研究學者的興趣,1973年 Zienkiewicz 與 Campbell [2]就利用有限元素法做結構分析,Braibant 與Fleury[3 ]則利用節點座標當作設計變數做有限元素分析,研究結果發現上述的幾何表示法無法維持一個平滑的邊界形態。後來部份研究的學者[4][5][6]利用多項式函數來描述邊界形態,以建構一平滑邊界,但是由於曲線局部控制的能力缺乏,因此設計者很難自由地設計、修改邊界曲線。Spline曲線的幾何表示法是目前較流行的形狀最佳化設計方法[7][8],Spline曲線係由低階的多項式函數片段組成,而且是以控制點座標當做設計變數,因此除了可維持平滑邊界,並且具有良好的局部控制功能。

 
1.三桿件桁架結構最佳化問題詳細尺寸圖
 
 
1.桁架結構各子目標函數理論解[13]
最佳解 

目標函數

W (kg) u(mm) v(mm)
架桁結構總重量 0.2137 3.347 1.932
水平位移 12.3307 0.0205 0.0984
垂直位移 12.3307 0.0205 0.0984
 
 
2.桁架結構最佳化設計之有限元素模型元素
Type of Element
LINK1
Node of each element
I, J
DOF of each Element
Ux, Uy
Real Constants
AREA
Material Properties
Ex=207E+9
 
2.三桿件桁架結構有限元素模型
   
3.桁架結構各子目標函數之ANSYS最佳解
最佳解 

目標函數

  

W(kg)

  

u(mm)

  

v(mm)

桿件13 

面積(mm2)

桿件2 

面積(mm2)

架桁結構總重量 0.218 2.942 1.970 2.189 19.075
水平位移 10.579 0.021 0.174 300.04 147.54
垂直位移 12.164 0.021 0.10 309.68 310.82
 
圖3.形狀最佳化問題之幾何尺寸圖
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
圖7.板中具一圓孔之理論集中因素圖[19 ]
 
4.形狀最佳化之有限元素資料一覽表
Type of Element
PLANE2
Node of each element
3
DOF of each Element
Ux, Uy
Material Properties
Ex=3E+7, Nuxy=0.3
 
圖8.板件具中心孔最初設計有限元素模型
5.具孔板件形狀最佳化的結果
  最初設計 

(圓形)

最佳化設計 

(橢圓形)

減少率%
面積(in2) 15.804 15.369 2.8
最大應力(psi) 

(44板件)

3028 

 

1779.5 41.2
理論最大應力(psi) 3040 1666.7
 
 
圖9.板件具中心孔最佳化設計形狀
五、結論
 
      本文概括性地介紹如何應用ANSYS 5.0有限元素分析軟體做最佳化設計,並例舉五個最佳化設計實例實例,分析結果均達到分析目標,並獲致以下的結論,以供將來從事最佳化設計之參考:
  1、由於ANSYS 5.0只能做單目標最佳化設計問題,因此在做多目標最佳化設計問題時,先將多目 標問題化為數個子目標問題分別求出個別最佳解,再依設計目標加重或減少各子目標的比重值,以獲得Pareto最佳解。

2、由板件具中心孔形狀最佳化設計的實例中,可以很明顯的發現,最佳化設計後的板件應力集中現象降低41.2%,換言之,板件所能承受的均佈應力提高二倍之多。且最終形狀為類似橢圓形,因此在從事機械加工時,只須將原來圓形孔向承受均佈力的方向挖去部份材料即可達到上述效果,並不需要太多加工技巧。

3、所有實例的分析結果與理論解比較後,發現ANSYS有限元素分析軟體做最佳化設時正確性皆頗高。

4、本文所使用之Bezier曲線法除了可用來描
述實例二最佳化外形,將來可應用在其它更複雜的形狀最佳化設計問題,例如曲樑、扭力臂之設計。

5、由於ANSYS 5.0有限元素分析軟體在做形狀最佳化問題時,需計算整個區域內元素應力分佈情形,因此將來做更複雜的形狀最佳化設計問題時,會耗費相當多的時間在計算整個區域內元素應力上,若能結合邊界元素法(Boundary Element Methods)做形狀最佳化設計問題[1],將會大大的提高其設計效率。

六、參考文獻:
 

1. 蔡英杰, 1989, 邊界元素法於形狀最佳化設計之研究, 國立中山大學機械工程研究所碩士論文.

2. Zienkiewicz, O. C., and Campbell, J. S., 1973, Shape Optimization and Seqential Linear Programming," in Gallagher, R. H. and Zienkiewicz, O. C. eds., Optimal Structural Design, John Wiley, New York, pp. 109-126.

3. Braibant, V., and Fleury, C., 1984, "Shape optimal Design Using B-Spline," Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, Vol. 44, pp. 247-267.

4. Kristensen E. S., and Madsen N. F., 1976, "On the Optimum Shape of Fillets in Plates Subjected to Multiple In-plane Loading Cases, " International Journal of Numerical Methods in Engineering, Vol. 10, pp. 1007-1009.

5. Bhavikatti, S. S., and Ramakrishnan, C. V., 1980, "Optimum Shape Design of Rotating Disks, " Computers and Structures, Vol. 11, pp. 397-401.

6. Pedersen, P., and Laursen, C. L., 1982-83, "Design for Minmum Stress Concentration by Finite Elements and Linear Programming." Journal of Structural Mechanics, Vol. 10, pp. 375-391.

7. Luchi, M. L., Pogglialini, A., and Persiani, F., 1980, "An Interactive Optimization Procedure Applied to Design of Gas Turbine Discs,", Computer and Structures, Vol. 11, pp. 629-637.

8. Weck, M., and Steinke, P., 1983/84, "An Efficient Technique in Shape Optimization", Journal of Structural Mechanics, Vol. 11, pp.433-449.

9. Looman, D., Marx, F., and Pasquerell, J., 1992, ANSYS Parametric Design Language Manual for Revision 5.0 Tutorial, Swanson Analysis Systems, Inc.

10. Anonym, 1992, ANSYS User's Manual for Revision 5.0, Vol. IV Theory, Swanson Analysis Systems, Inc.

11. Wilde, D. J., 1976, The Monotonicity Table in Optimal Engineering Design. Engineering Optimization, Vol. 2, pp. 29-34.

12. Anonym, 1992, ANSYS User's Guides and Seminar Notes for Revision 5.0, Swanson Analysis Systems, Inc.

13. 徐業良, 1995, 工程最佳化設計, 國立編輯館.

14. Arora, J. S., 1989, Itroduction to Optimum Design, McGraw Hill, New York.

15. Anonym, 1992, ANSYS User's Manual for Revision 5.0, Vol. IV Elements, Swanson Analysis Systems, Inc.

16. Timshenko, S. P., and Goodier, J. N., 1970, Theory of Elasticity, 3rd ed., McGraw Hill, New York, pp. 10-20.

17. Gerald, C. F, and Wheatley, P. O., Applied Numerical Analysis, 4th ed., Addison Wesley, New York, pp. 244-248.

18. Boresi, A. P., Sidebottom, O. M., Sceley, F. B., and Simth, J. O., 1985, Advanced Mechanics of Materials, 4th ed., John Wiley, New York.

19. Shigley, J. E., and Mitchell, L. D., 1983, Mechanical Engineering Design, 4th ed., McGraw-Hill, New York.

 
Application of ANSYS Finite Element Analysis Software
to Optimum Design Problem
Chong-Ching Tseng and Ja Ming Tzang
Bor-Tsuen Wang
Department of Mechanic Engineering
Nation Pingtung Polytechnic Institute
ABSTRACT